Không gian Euclid

Xét hệ vectơ sau trong R2 (với tích trong quy ước chính là tích vô hướng)

S = { v 1 = ( 3 1 ) , v 2 = ( 2 2 ) } . {\displaystyle S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .}

Bây giờ, thực hiện Gram–Schmidt để có được hệ các vectơ trực giao:

u 1 = v 1 = ( 3 1 ) {\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}} u 2 = v 2 − p r o j u 1 ( v 2 ) = ( 2 2 ) − p r o j ( 3 1 ) ( ( 2 2 ) ) = ( 2 2 ) − 8 10 ( 3 1 ) = ( − 2 / 5 6 / 5 ) . {\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2})={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,({{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}})}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-{8 \over 10}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.}

Ta kiểm tra rằng các vectơ u1 và u2 chắc chắn là trực giao:

⟨ u 1 , u 2 ⟩ = ⟨ ( 3 1 ) , ( − 2 / 5 6 / 5 ) ⟩ = − 6 5 + 6 5 = 0 , {\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0,}

lưu ý rằng nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 thì chúng trực giao.

Đối với các vectơ khác vectơ không, ta có thể chuẩn hóa các vectơ đó bằng cách chia cho độ dài của chúng như dưới đây:

e 1 = 1 10 ( 3 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}} e 2 = 1 40 25 ( − 2 / 5 6 / 5 ) = 1 10 ( − 1 3 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.}